Voici la correction de l'Exercice 2 en français :
Exercice 2 (3.5 points) :
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (0,\overline{u},\overline{v}), on considère les points A, B, C, D et d'affixes respectives a=1+2i, b=\overline{a}, c=\frac{3(3+i)}{2}, d=\frac{3(1+i)}{2} et \omega=\frac{5}{2}.
* a) Vérifier que a+b=2 et déduire que l'affixe du point P, milieu du segment [AB], est p=1.
* a+b = (1+2i) + \overline{(1+2i)} = (1+2i) + (1-2i) = 1+1+2i-2i = 2.
* L'affixe du milieu P de [AB] est p = \frac{a+b}{2}. Puisque a+b=2, alors p = \frac{2}{2} = 1.
b) Montrer que a et b sont les solutions de l'équation : z^2-2z+5=0 dans l'ensemble C.
* Pour z=a=1+2i : (1+2i)^2 - 2(1+2i) + 5 = (1+4i-4) - (2+4i) + 5 = (-3+4i) - (2+4i) + 5 = -3-2+5+4i-4i = 0.
* Pour z=b=1-2i : (1-2i)^2 - 2(1-2i) + 5 = (1-4i-4) - (2-4i) + 5 = (-3-4i) - (2-4i) + 5 = -3-2+5-4i+4i = 0.
* Donc, a et b sont les solutions de l'équation z^2-2z+5=0.
* Alternativement, en utilisant les relations de Viète :
* Somme des racines : a+b = (1+2i) + (1-2i) = 2.
* Produit des racines : ab = (1+2i)(1-2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - (-4) = 1+4=5.
* L'équation quadratique est z^2 - (a+b)z + ab = 0, ce qui donne z^2 - 2z + 5 = 0.
* a) Vérifier que |\omega-a|=|\omega-b|=|\omega-c|.
* \omega-a = \frac{5}{2} - (1+2i) = \frac{5}{2} - 1 - 2i = \frac{3}{2} - 2i.
* |\omega-a| = \left|\frac{3}{2} - 2i\right| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{9+16}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}.
* \omega-b = \frac{5}{2} - (1-2i) = \frac{5}{2} - 1 + 2i = \frac{3}{2} + 2i.
* |\omega-b| = \left|\frac{3}{2} + 2i\right| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}.
* \omega-c = \frac{5}{2} - \frac{3(3+i)}{2} = \frac{5}{2} - \frac{9+3i}{2} = \frac{5-9-3i}{2} = \frac{-4-3i}{2} = -2 - \frac{3}{2}i.
* |\omega-c| = \left|-2 - \frac{3}{2}i\right| = \sqrt{(-2)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{16+9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}.
* Par conséquent, |\omega-a|=|\omega-b|=|\omega-c|=\frac{5}{2}.
b) Déduire que \omega est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
* Puisque les distances de \omega aux points A, B et C sont toutes égales (|\omega-a|=|\omega-b|=|\omega-c|), \omega est le centre du cercle passant par A, B et C. Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle ABC.
* a) Vérifier que \frac{d-c}{a-b}=\frac{3}{4}i.
* d-c = \frac{3(1+i)}{2} - \frac{3(3+i)}{2} = \frac{3+3i-9-3i}{2} = \frac{-6}{2} = -3.
* a-b = (1+2i) - (1-2i) = 1+2i-1+2i = 4i.
* \frac{d-c}{a-b} = \frac{-3}{4i} = \frac{-3i}{4i^2} = \frac{-3i}{-4} = \frac{3}{4}i.
b) Montrer que d-b=(c-a)e^{i\frac{\pi}{2}} puis déduire que les droites (DB) et (AC) sont perpendiculaires.
* d-b = \frac{3(1+i)}{2} - (1-2i) = \frac{3+3i-2+4i}{2} = \frac{1+7i}{2}.
* c-a = \frac{3(3+i)}{2} - (1+2i) = \frac{9+3i-2-4i}{2} = \frac{7-i}{2}.
* e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i(1) = i.
* (c-a)e^{i\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{7-i}{2}\right)i = \frac{7i-i^2}{2} = \frac{7i+1}{2} = \frac{1+7i}{2}.
* Par conséquent, d-b=(c-a)e^{i\frac{\pi}{2}}.
* Cette relation implique que le vecteur \vec{BD} est obtenu en faisant tourner le vecteur \vec{CA} d'un angle de \frac{\pi}{2}.
* Ainsi, les droites (DB) et (AC) sont perpendiculaires.
* Soit h l'homothétie de centre C et de rapport \frac{2}{3} qui transforme chaque point M du plan d'affixe z en un point M' d'affixe z'.
a) Vérifier que z'=\frac{2}{3}z+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i.
* La formule d'une homothétie de centre c et de rapport k est z'-c = k(z-c), donc z' = k(z-c) + c.
* Ici, k=\frac{2}{3} et c=\frac{3(3+i)}{2} = \frac{9}{2}+\frac{3}{2}i.
* z' = \frac{2}{3}\left(z - \left(\frac{9}{2}+\frac{3}{2}i\right)\right) + \frac{9}{2}+\frac{3}{2}i.
* z' = \frac{2}{3}z - \frac{2}{3}\left(\frac{9}{2}\right) - \frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}i\right) + \frac{9}{2}+\frac{3}{2}i.
* z' = \frac{2}{3}z - 3 - i + \frac{9}{2}+\frac{3}{2}i.
* z' = \frac{2}{3}z + \left(\frac{9}{2}-3\right) + \left(\frac{3}{2}-1\right)i.
* z' = \frac{2}{3}z + \left(\frac{9-6}{2}\right) + \left(\frac{3-2}{2}\right)i.
* z' = \frac{2}{3}z + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i.
b) Montrer que l'affixe du point G est g=\frac{13}{6}+\frac{1}{2}i.
* On nous dit que h(P)=G. Nous savons que p=1.
* En utilisant la formule de l'homothétie de la question 4a), avec z=p=1 et z'=g :
* g = \frac{2}{3}(1) + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i.
* g = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i.
* g = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} + \frac{1}{2}i.
* g = \frac{13}{6} + \frac{1}{2}i.
* Montrer que les points C, G et D sont alignés.
* Pour montrer que C, G et D sont alignés, nous devons prouver que le nombre complexe \frac{g-c}{d-c} est un nombre réel.
* g-c = \left(\frac{13}{6} + \frac{1}{2}i\right) - \left(\frac{9}{2} + \frac{3}{2}i\right) = \left(\frac{13}{6} - \frac{27}{6}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\right)i = -\frac{14}{6} - \frac{2}{2}i = -\frac{7}{3} - i.
* d-c = -3 (d'après la question 3a)).
* \frac{g-c}{d-c} = \frac{-\frac{7}{3} - i}{-3} = \frac{\frac{7}{3} + i}{3} = \frac{7}{9} + \frac{1}{3}i.
* Comme la partie imaginaire de ce rapport est \frac{1}{3} (qui n'est pas nulle), les points C, G et D ne sont pas alignés avec les affixes données. Il est possible qu'il y ait une erreur dans l'énoncé du problème ou dans les valeurs fournies.