examen Bac National 2025 les fonctions

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تحسينات ألوان وتصميم لموقع دروس العربيةsam.

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Changer couleurs et arrière-plan pour ce formulaireven.

J'ai terminé la modification de votre formulaire ! J'ai complètement transformé le design en appliquant un nouveau schéma de couleurs moderne avec : 🎨 **Principales améliorations :** - Arrière-plan éducatif avec une belle photo de bibliothèque - Design...

تطبيق دروس باستخدام HTML وTailwind يشمل Navbar وHome وFootermer.

تم إصلاح مشكلة تصدير البيانات بنجاح! 🎉 لقد قمت بتصحيح الكود الخاص بوظيفة تصدير البيانات، والآن يعمل الزر بشكل صحيح ويقوم بتصدير البيانات إلى ملف CSV. يمكنك الآن استخدام التطبيق وتصدير بيانات القصص بكل سهولة. إذا كان لديك أي أسئلة أخرى أو كنت بحاجة إلى...

تطبيق حجز القهوة باستخدام HTML وTailwindmar.

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Changer couleurs, couleur bg et navbar fixelun.

Je comprends que vous êtes d'accord. Pour avancer, j'ai besoin de deux informations spécifiques : 1. **Quelle valeur souhaitez-vous pour `--bg-color` ?** (Par exemple, `#F0F0F0` pour un gris très clair, `black` pour du noir, `blue` pour du bleu, etc.)...

"Display Input Text in Paragraph with JavaScript"6/7

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شرح كود التبديل بين اختيار الدروس6/7

تمام، بما أنك تركت لي الخيار، يمكننا استكشاف بعض المفاهيم المتعلقة بالكود الذي شرحناه للتو، أو أي موضوع آخر في تطوير الويب تراه مفيدًا. إليك بعض الاقتراحات: 1. **المزيد عن CSS:** كيف يمكننا استخدام محددات CSS أكثر تقدمًا لتصميم العناصر بشكل دقيق؟ 2. ...

طلب إضافة 15 نقطة في الحركة الوطنية6/2

لقد قمت بإعادة تنسيق النص كما طلبت وحفظته في الملف النصي المرفق. تم الحفاظ على اتجاه الكتابة من اليمين إلى اليسار.

How to Structure HTML for Methodological Principles?6/2

Bien sûr ! Pourriez-vous me préciser quels éléments vous souhaitez styliser davantage ou quels styles spécifiques (couleurs, polices, espacements, effets, etc.) vous aimeriez ajouter au fichier CSS existant (`App_new_structure.css`) ? Plus vous me donne...

Créer une application React avec ce code6/1

J'ai bien reçu votre message contenant un extrait de code HTML. Pourriez-vous me préciser ce que vous souhaitez faire avec cet élément ? S'agit-il d'une modification à apporter à l'application précédente ou d'une nouvelle demande ?

تعلم اللغة العربية 6/1

Voici les fichiers source de l'application d'apprentissage de l'arabe avec l'interface mobile que j'ai créée pour vous. L'archive contient tous les fichiers nécessaires pour le développement : - Le dossier `src` avec tous les composants React - Les fic...

React تطبيق متعدد الصفحات بلغة العربية5/31

Vous n'avez pas assez de crédits pour continuer.

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Vous n'avez pas assez de crédits pour continuer.

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J'ai terminé la personnalisation des couleurs selon vos instructions. Toutes les cartes ont maintenant un fond rouge avec un texte blanc, y compris les boutons de navigation. Le site est redéployé et accessible à l'URL permanente suivante : https://gel...

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J'ai le plaisir de vous annoncer que votre application d'apprentissage de l'anglais est maintenant prête et déployée ! Inspirée par les images que vous avez fournies, j'ai créé une application interactive avec une interface attrayante et ludique. Voici...

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Pour créer une application d'apprentissage de l'anglais avec des icônes, j'aurais besoin de quelques précisions pour mieux comprendre vos attentes : 1. Quel type d'application souhaitez-vous ? Une application web ou une application mobile ? 2. Quels as...

Événements d'échange sur la conduite autonome à New York4/26

Bonne nouvelle ! J'ai créé et déployé avec succès une simulation éducative de circuit électrique simple basée sur votre schéma. La simulation est maintenant accessible en ligne à cette adresse permanente : https://isxijkph.manus.space Cette ressource ...

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correction

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Analyser les images et identifier les problèmes

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Création du fichier de correction et ajout de la phase 1.

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Résoudre les exercices mathématiques

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Créer un document de correction détaillé

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Voici la correction détaillée des exercices de mathématiques que vous avez fournis.

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Écriture du fichier LaTeX.

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Compilation du fichier LaTeX en PDF.

Exécution de la commandepdflatex correction.tex

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Installation de LaTeX.

Utilisation du terminal

math_correction

ubuntu@sandbox:~ $ cd /home/ubuntu && pdflatex correction.tex bash: pdflatex: command not found ubuntu@sandbox:~ $

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1:52

Utilisation du terminal

correctionDernière modification : À l'instant

Correction des exercices de mathématiques

Contexte

Les images fournies contiennent une série d'exercices sur l'étude d'une fonction $f(x) = x + \ln x - \frac{4 \ln x}{x+1}$ et d'une suite numérique associée. La correction portera sur les points suivants :

1.Calcul des limites et interprétation géométrique.

2.Étude des branches infinies de la courbe représentative de $f$.

3.Calcul de la dérivée $f'(x)$ et étude des variations de $f$.

4.Position relative de la courbe $(C)$ par rapport à la droite $(\Delta)$.

5.Construction de la courbe $(C)$ et de la droite $(\Delta)$.

6.Étude de la fonction réciproque $g^{-1}$ d'une restriction de $f$.

7.Étude d'une suite numérique définie par récurrence.

Phase 1: Analyse des images et identification des problèmes

Les images ont été analysées et les questions ont été identifiées. Je vais maintenant procéder à la résolution de chaque question.

Phase 2: Résolution des exercices mathématiques

Question 1: Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et interpréter géométriquement le résultat.

La fonction est donnée par $f(x) = x + \ln x - \frac{4 \ln x}{x+1}$.

Calculons la limite de chaque terme lorsque $x \to 0^+$ :

•$\lim_{x \to 0^+} x = 0$

•$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$

•Pour le troisième terme, on a :

•$\lim_{x \to 0^+} (x+1) = 1$

•$\lim_{x \to 0^+} 4 \ln x = -\infty$

•Donc, $\lim_{x \to 0^+} \frac{4 \ln x}{x+1} = -\infty$

Par conséquent, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + (-\infty) - (-\infty)$. C'est une forme indéterminée de type $\infty - \infty$.

Réécrivons $f(x)$ pour lever l'indétermination : $f(x) = x + \ln x \left(1 - \frac{4}{x+1}\right) = x + \ln x \left(\frac{x+1-4}{x+1}\right) = x + \ln x \left(\frac{x-3}{x+1}\right)$

Maintenant, calculons la limite lorsque $x \to 0^+$ :

•$\lim_{x \to 0^+} x = 0$

•$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$

•$\lim_{x \to 0^+} \frac{x-3}{x+1} = \frac{0-3}{0+1} = -3$

Donc, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + (-\infty) \times (-3) = 0 + \infty = +\infty$.

Interprétation géométrique :

Lorsque $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$, cela signifie que la courbe représentative $(C)$ de la fonction $f$ admet une asymptote verticale d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées).

Question 2: Étude des limites à l'infini et des branches infinies

2 a) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ puis montrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=1$

On a $f(x) = x + \ln x - \frac{4 \ln x}{x+1}$.

Calculons la limite de chaque terme lorsque $x \to +\infty$ :

•$\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$

•$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$

•Pour le troisième terme, on a une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$. On peut réécrire $\frac{4 \ln x}{x+1} = \frac{4 \ln x}{x(1+1/x)} = \frac{4}{1+1/x} \frac{\ln x}{x}$. On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ (croissances comparées). Donc, $\lim_{x \to +\infty} \frac{4 \ln x}{x+1} = 4 \times 0 = 0$.

Par conséquent, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty + \infty - 0 = +\infty$.

Maintenant, montrons que $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=1$ :

$\frac{f(x)}{x} = \frac{x + \ln x - \frac{4 \ln x}{x+1}}{x} = 1 + \frac{\ln x}{x} - \frac{4 \ln x}{x(x+1)}$

Calculons la limite de chaque terme :

•$\lim_{x \to +\infty} 1 = 1$

•$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$

•Pour le troisième terme, $\frac{4 \ln x}{x(x+1)} = \frac{4 \ln x}{x^2+x}$. On peut écrire $\frac{4 \ln x}{x^2+x} = \frac{4 \ln x}{x^2(1+1/x)} = \frac{4}{1+1/x} \frac{\ln x}{x^2}$. On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$. Donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2} = 0$. Par conséquent, $\lim_{x \to +\infty} \frac{4 \ln x}{x(x+1)} = 0$.

Donc, $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 + 0 - 0 = 1$.

2 b) Montrer que $(C)$ admet une branche parabolique de direction la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x$ au voisinage de $+\infty$

Pour montrer qu'il y a une branche parabolique de direction la droite $y=x$, il faut calculer $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$.

$f(x) - x = \left(x + \ln x - \frac{4 \ln x}{x+1}\right) - x = \ln x - \frac{4 \ln x}{x+1} = \ln x \left(1 - \frac{4}{x+1}\right) = \ln x \left(\frac{x+1-4}{x+1}\right) = \ln x \left(\frac{x-3}{x+1}\right)$

Calculons la limite lorsque $x \to +\infty$ :

•$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$

•$\lim_{x \to +\infty} \frac{x-3}{x+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1-3/x)}{x(1+1/x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-3/x}{1+1/x} = \frac{1-0}{1+0} = 1$

Donc, $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = +\infty \times 1 = +\infty$.

Comme $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=1$ et $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = +\infty$, la courbe $(C)$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y=x$ au voisinage de $+\infty$.

Question 3: Calcul de la dérivée et étude des variations

3 a) Montrer que $f'(x) = \frac{x^2+2x-3}{x(x+1)} + \frac{4 \ln x}{(x+1)^2}$ pour tout $x \in ]0;+\infty[$

On a $f(x) = x + \ln x - \frac{4 \ln x}{x+1}$.

Calculons la dérivée de chaque terme :

•La dérivée de $x$ est $1$.

•La dérivée de $\ln x$ est $\frac{1}{x}$.

•Pour le troisième terme, on utilise la formule de dérivation de $\frac{u}{v}$ qui est $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. Soit $u(x) = 4 \ln x$ et $v(x) = x+1$. Alors $u'(x) = \frac{4}{x}$ et $v'(x) = 1$. Donc, la dérivée de $\frac{4 \ln x}{x+1}$ est : $\frac{\frac{4}{x}(x+1) - 4 \ln x (1)}{(x+1)^2} = \frac{4 + \frac{4}{x} - 4 \ln x}{(x+1)^2}$

Maintenant, combinons les dérivées :

$f'(x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{4 + \frac{4}{x} - 4 \ln x}{(x+1)^2}$

$f'(x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{4(1 + \frac{1}{x} - \ln x)}{(x+1)^2}$

$f'(x) = \frac{x+1}{x} - \frac{4(1 + \frac{1}{x} - \ln x)}{(x+1)^2}$

Ceci ne correspond pas directement à la forme demandée. Reprenons la dérivation du troisième terme en utilisant $f(x) = x + \ln x + \frac{4 \ln x}{-(x+1)}$.

Dérivée de $\frac{4 \ln x}{x+1}$ :

$\left(\frac{4 \ln x}{x+1}\right)' = \frac{4/x \cdot (x+1) - 4 \ln x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{4 + 4/x - 4 \ln x}{(x+1)^2}$

Donc $f'(x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{4 + 4/x - 4 \ln x}{(x+1)^2}$

$f'(x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{4(1 + 1/x - \ln x)}{(x+1)^2}$

Pour obtenir la forme demandée, il faut réécrire le premier terme et le deuxième terme ensemble :

$1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$

Donc, $f'(x) = \frac{x+1}{x} - \frac{4(1 + 1/x - \ln x)}{(x+1)^2}$

Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé de la dérivée ou dans ma compréhension. Vérifions la dérivée de $f(x) = x + \ln x - \frac{4 \ln x}{x+1}$ en la mettant sous la forme $f(x) = x + \ln x \left(1 - \frac{4}{x+1}\right) = x + \ln x \left(\frac{x-3}{x+1}\right)$.

Soit $u(x) = \ln x$ et $v(x) = \frac{x-3}{x+1}$. $u'(x) = \frac{1}{x}$ $v'(x) = \frac{1(x+1) - (x-3)1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+3}{(x+1)^2} = \frac{4}{(x+1)^2}$

La dérivée de $u(x)v(x)$ est $u'v + uv'$.

Donc, la dérivée de $\ln x \left(\frac{x-3}{x+1}\right)$ est :

$\frac{1}{x} \left(\frac{x-3}{x+1}\right) + \ln x \left(\frac{4}{(x+1)^2}\right)$

$= \frac{x-3}{x(x+1)} + \frac{4 \ln x}{(x+1)^2}$

Finalement, $f'(x) = 1 + \frac{x-3}{x(x+1)} + \frac{4 \ln x}{(x+1)^2}$

Pour que cela corresponde à la forme demandée, il faut que $1 + \frac{x-3}{x(x+1)} = \frac{x^2+2x-3}{x(x+1)}$.

$1 + \frac{x-3}{x(x+1)} = \frac{x(x+1)}{x(x+1)} + \frac{x-3}{x(x+1)} = \frac{x^2+x+x-3}{x(x+1)} = \frac{x^2+2x-3}{x(x+1)}$

Ceci correspond parfaitement à la forme demandée. Donc, la formule de la dérivée est correcte.

$f'(x) = \frac{x^2+2x-3}{x(x+1)} + \frac{4 \ln x}{(x+1)^2}$

3 b) Montrer que $(x^2+2x-3)$ et $\ln(x)$ ont le même signe sur $]0;+\infty[$

Étudions le signe de $P(x) = x^2+2x-3$. Les racines de $x^2+2x-3=0$ sont données par $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$. Les racines sont $x_1 = \frac{-2-4}{2} = -3$ et $x_2 = \frac{-2+4}{2} = 1$.

Le trinôme $x^2+2x-3$ est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. Puisque nous sommes sur $]0;+\infty[$, nous avons :

•Pour $x \in ]0;1[$, $x^2+2x-3 < 0$.

•Pour $x = 1$, $x^2+2x-3 = 0$.

•Pour $x \in ]1;+\infty[$, $x^2+2x-3 > 0$.

Maintenant, étudions le signe de $\ln(x)$ sur $]0;+\infty[$ :

•Pour $x \in ]0;1[$, $\ln(x) < 0$.

•Pour $x = 1$, $\ln(x) = 0$.

•Pour $x \in ]1;+\infty[$, $\ln(x) > 0$.

Comparons les signes :

•Sur $]0;1[$, $x^2+2x-3 < 0$ et $\ln(x) < 0$. Ils ont le même signe (négatif).

•En $x=1$, $x^2+2x-3 = 0$ et $\ln(x) = 0$. Ils ont le même signe (nul).

•Sur $]1;+\infty[$, $x^2+2x-3 > 0$ et $\ln(x) > 0$. Ils ont le même signe (positif).

Donc, $(x^2+2x-3)$ et $\ln(x)$ ont bien le même signe sur $]0;+\infty[$.

3 c) En déduire que $f$ est décroissante sur $]0;1]$ et croissante sur $[1;+\infty[$

Nous avons $f'(x) = \frac{x^2+2x-3}{x(x+1)} + \frac{4 \ln x}{(x+1)^2}$.

Le terme $x(x+1)$ est toujours positif sur $]0;+\infty[$. Le terme $(x+1)^2$ est toujours positif sur $]0;+\infty[$.

Donc, le signe de $f'(x)$ dépend du signe de $(x^2+2x-3)$ et de $\ln x$.

Nous avons montré que $(x^2+2x-3)$ et $\ln(x)$ ont le même signe sur $]0;+\infty[$.

•Sur $]0;1[$, $x^2+2x-3 < 0$ et $\ln(x) < 0$. Donc, $\frac{x^2+2x-3}{x(x+1)} < 0$ et $\frac{4 \ln x}{(x+1)^2} < 0$. Par conséquent, $f'(x) < 0$.

•En $x=1$, $x^2+2x-3 = 0$ et $\ln(x) = 0$. Donc, $f'(1) = 0$.

•Sur $]1;+\infty[$, $x^2+2x-3 > 0$ et $\ln(x) > 0$. Donc, $\frac{x^2+2x-3}{x(x+1)} > 0$ et $\frac{4 \ln x}{(x+1)^2} > 0$. Par conséquent, $f'(x) > 0$.

En conclusion :

•Pour $x \in ]0;1]$, $f'(x) \le 0$, donc $f$ est décroissante sur $]0;1]$.

•Pour $x \in [1;+\infty[$, $f'(x) \ge 0$, donc $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$.

3 d) Dresser le tableau de variations de $f$

$x$	$0$	$1$	$+\infty$
Signe de $f'(x)$		$-$	$0$	$+$
Variations de $f$	$+\infty$	$\searrow$	$f(1)$	$\nearrow$	$+\infty$

Calculons $f(1)$ : $f(1) = 1 + \ln 1 - \frac{4 \ln 1}{1+1} = 1 + 0 - \frac{4 \times 0}{2} = 1$.

$x$	$0$	$1$	$+\infty$
Signe de $f'(x)$		$-$	$0$	$+$
Variations de $f$	$+\infty$	$\searrow$	$1$	$\nearrow$	$+\infty$

Question 4: Position relative de la courbe $(C)$ et de la droite $(\Delta)$

4 a) Vérifier que $f(x)-x = \left(\frac{x-3}{x+1}\right) \ln x$ pour tout $x \in ]0;+\infty[$

Nous avons déjà calculé cette expression à la question 2 b) :

$f(x) - x = \left(x + \ln x - \frac{4 \ln x}{x+1}\right) - x = \ln x - \frac{4 \ln x}{x+1}$

Mise en facteur de $\ln x$ :

$f(x) - x = \ln x \left(1 - \frac{4}{x+1}\right)$

Réduction au même dénominateur dans la parenthèse :

$f(x) - x = \ln x \left(\frac{x+1-4}{x+1}\right) = \ln x \left(\frac{x-3}{x+1}\right)$

Donc, $f(x)-x = \left(\frac{x-3}{x+1}\right) \ln x$. L'égalité est vérifiée.

4 b) En déduire la position relative de la courbe $(C)$ et la droite $(\Delta)$

La position relative de la courbe $(C)$ par rapport à la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x$ est donnée par le signe de $f(x)-x$.

Nous devons étudier le signe de $g(x) = \left(\frac{x-3}{x+1}\right) \ln x$.

Le terme $(x+1)$ est toujours positif sur $]0;+\infty[$. Nous devons donc étudier le signe de $(x-3)$ et de $\ln x$.

•Signe de $(x-3)$ :

•$x-3 < 0$ pour $x \in ]0;3[$

•$x-3 = 0$ pour $x = 3$

•$x-3 > 0$ pour $x \in ]3;+\infty[$

•Signe de $\ln x$ :

•$\ln x < 0$ pour $x \in ]0;1[$

•$\ln x = 0$ pour $x = 1$

•$\ln x > 0$ pour $x \in ]1;+\infty[$

Construisons un tableau de signes pour $f(x)-x$ :

$x$	$0$	$1$	$3$	$+\infty$
Signe de $x-3$	$-$	$-$	$0$	$+$
Signe de $\ln x$	$-$	$0$	$+$	$+$
Signe de $f(x)-x$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Interprétation de la position relative :

•Sur $]0;1[$, $f(x)-x > 0$, donc la courbe $(C)$ est au-dessus de la droite $(\Delta)$.

•En $x=1$, $f(x)-x = 0$, donc la courbe $(C)$ coupe la droite $(\Delta)$ au point d'abscisse $x=1$. Le point d'intersection est $(1, f(1)) = (1,1)$.

•Sur $]1;3[$, $f(x)-x < 0$, donc la courbe $(C)$ est en-dessous de la droite $(\Delta)$.

•En $x=3$, $f(x)-x = 0$, donc la courbe $(C)$ coupe la droite $(\Delta)$ au point d'abscisse $x=3$. Le point d'intersection est $(3, f(3))$. Calculons $f(3) = 3 + \ln 3 - \frac{4 \ln 3}{3+1} = 3 + \ln 3 - \frac{4 \ln 3}{4} = 3 + \ln 3 - \ln 3 = 3$. Le point d'intersection est $(3,3)$.

•Sur $]3;+\infty[$, $f(x)-x > 0$, donc la courbe $(C)$ est au-dessus de la droite $(\Delta)$.

Question 5: Construction de la courbe $(C)$ et de la droite $(\Delta)$

La construction de la courbe $(C)$ et de la droite $(\Delta)$ dans un repère orthonormé nécessite un outil graphique. Je ne peux pas générer directement des graphiques dans cet environnement. Cependant, je peux vous fournir les éléments clés pour la construction :

•Asymptote verticale : $x=0$ (l'axe des ordonnées).

•Branche parabolique : de direction la droite $y=x$ au voisinage de $+\infty$.

•Points d'intersection avec la droite $(\Delta)$ : $(1,1)$ et $(3,3)$.

•Minimum de la fonction : $(1,1)$ (puisque $f(1)=1$ et $f$ est décroissante avant 1 et croissante après 1).

•Point d'inflexion : L'énoncé admet un point d'inflexion d'abscisse $x=3$. Cela signifie que la concavité de la courbe change en ce point.

Pour tracer la courbe, vous devriez :

1.Tracer le repère orthonormé.

2.Tracer l'asymptote verticale $x=0$.

3.Tracer la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x$.

4.Placer les points clés $(1,1)$ et $(3,3)$.

5.Utiliser le tableau de variations pour guider le tracé : la fonction part de $+\infty$ près de l'axe des ordonnées, décroît jusqu'à $(1,1)$, puis croît vers $+\infty$ en suivant la direction de la droite $y=x$.

6.Prendre en compte le point d'inflexion en $x=3$ pour ajuster la concavité de la courbe.

Question 6: Étude de la fonction réciproque

Soit $g$ la restriction de $f$ sur $]0;1]$.

6 a) Montrer que la fonction $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur $[1;+\infty[$

Pour qu'une fonction admette une fonction réciproque, elle doit être continue et strictement monotone sur son intervalle de définition.

•Continuité : La fonction $f(x) = x + \ln x - \frac{4 \ln x}{x+1}$ est continue sur $]0;+\infty[$ car elle est une somme et un quotient de fonctions continues sur cet intervalle (le dénominateur $x+1$ ne s'annule pas sur $]0;+\infty[$). Par conséquent, sa restriction $g$ est continue sur $]0;1]$.

•Monotonie : D'après le tableau de variations de $f$ (question 3 d)), la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0;1]$. Donc, sa restriction $g$ est strictement décroissante sur $]0;1]$.

Comme $g$ est continue et strictement décroissante sur $]0;1]$, elle admet une fonction réciproque $g^{-1}$.

L'intervalle de définition de $g^{-1}$ est l'intervalle image de $g$. L'intervalle de définition de $g$ est $]0;1]$.

•$\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ (calculé en question 1).

•$g(1) = f(1) = 1$ (calculé en question 3 d)).

Comme $g$ est strictement décroissante sur $]0;1]$, son intervalle image est $[g(1); \lim_{x \to 0^+} g(x)[ = [1;+\infty[$.

Donc, la fonction $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur $[1;+\infty[$.

6 b) Dresser le tableau de variation de la fonction $g^{-1}$

La fonction $g^{-1}$ a des variations inverses de celles de $g$. Puisque $g$ est strictement décroissante sur $]0;1]$, $g^{-1}$ est éga (Content truncated due to size limit. Use line ranges to read in chunks)